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HOME[PR]管理人のコメントこの問題解ける方いますか? 解答編

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2017-08-18-Fri 06:32:48 │EDIT
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この問題解ける方いますか? 解答編

2007-07-26-Thu 20:51:40 │EDIT
問題編はこちら


BP=3  RS=4  BC⊥QP

-----解答-----
.△ABPと△APCの面積比は1:4。
この2つの三角形は高さが同じなので、底辺の長さの比が1:4となる。
したがってPC=12。

△PQRと△QRSの面積比は1:2。
この2つの三角形も高さが同じなので、底辺の長さの比が1:2となる。
したがってPR=4  RC=8。

.△PQRと△SQRにおいて
ⅰ. Ⅰより、PR=SR=4 QR=QR(共通) 面積が等しい ので
△PQRの面積は (1/2)・PR・QR・sin∠PRQ
△SQRの面積は (1/2)・SR・QR・sin∠SRQ
よって、(1/2)・PR・QR・sin∠PRQ=(1/2)・SR・QR・sin∠SRQ。
ゆえに、sin∠PRQ=sin∠SRQ……①

ⅱ. このとき∠PRQ+∠SRQ<180°……②(SはRC上にあってはならないことより)
∠PRQ<90°(BC⊥QPの∠QPR=90°より) なので、
∠SRQ<90°のときと  90°<∠SRQ<180°の場合が考えられる。

ⅲ. しかし、90°<∠SRQ<180°の場合、
①式より、∠SRQ= (180°-∠PRQ)となる。
これは、∠PRQ+∠SRQ=180°となってしまい、②式に矛盾するので、
90°<∠SRQ<180°は成り立たない。
したがって∠SRQ<90°となり、∠PRQ=∠SRQとなる。

ⅳ. △PQRと△SQRにおいて
2辺とその間の角が等しいので、△PQR≡△SQR。

以上のことより、∠RSC=90°

.△SRCにおいて
RS=4  RC=8 より、cos∠SRC=1/2
したがって、∠SRC=60°、sin∠SRC=√(3) /2 となる。
△SRCの面積は、(1/2)・SR・RC・sin∠SRC=8√(3)……③


③式より、△ABCの面積を5等分したものの面積が8√(3) なので、
△ABCの面積は、5・8√(3)=40√(3) となる。

答え:40√(3)


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正解者:
Schwarz

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