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2017-04-27-Thu 16:06:45 │EDIT
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この問題解ける方いますか?

2007-07-25-Wed 22:10:25 │EDIT

私実は趣味が「数学研究」なんです。


一体どんなことをする趣味なのか?

というのは、学校で教えないような問題を解いてみたり、作ってみたりするんです。

とても数学が好きな人にしか、その面白さはわからないと思いますが・・・・・・


今日は、思い切って私が作った問題を発表したいと思います。

ちなみに、問題は高1レベル(三角比を既習とする)となっています。


問題

△ABCがある。
上図のように、△ABCの面積を5等分するように、線分AP,PQ,QR,RSを引いた。
BP=3 RS=4 BC⊥QP のとき、△ABCの面積を求めよ。


回答はコメント欄にでも。
解答は今週日曜日に発表します

すみません。
こちらの都合上、7/26に解答を発表させていただきます。
ご了承くださいませ。

解答編はこちら

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多分ですが...
△ABC=40√3
じゃないですかね?

PR=x PQ=yとすると
△PQR=xy/2 ・・・①
面積を等分したのだから△PQC=(3xy)/2
ここでRC=zとすると
△PQC=(x+z)y/2
なので
(x+z)y/2=3xy/2
よりz=2xである事が分かる

また、△APQ=△PQRであることから、共通辺PQを底辺と見れば、2つの三角形の高さは等しいと言う事になる
つまり、AからBCの延長線に垂線を引き、交点をTとするとTP=PR=xが分かる

△ATC∽△QPCであるから、その辺の比より
AT=4y/3

ゆえに
△ABC=(3x+3)×(4y/3)×1/2

①より
(3x+3)×(4y/3)×1/2=5xy/2
これよりx=4 ・・・②

さらにSからBCに垂線を引き、交点をUとすると、△PQR=△RSCであることから
SU=y/2 ・・・③
である事がわかる
△PQCにおいて、③より中点連結定理が言えるので
PU=UC=3x/2
よって
RU=x/2

△RSUにおいて三平方の定理から
(x/2)^2+(y/2)^2=4^2
x^2+y^2=64 ・・・④

②、④より
y=4√3

よって
△ABC=5×4×4√3/2=40√3

長くて読みづらくてすんません
もっとスマートに解ける方法があるかもしれない@@;
Schwarz2007-07-26-Thu 17:47:06EDIT
Re:多分ですが...
お見事!! 大正解です。^^

すばらしい回答です。
これなら三角比使わなくて済むので、中学3年生にも解けるかもしれませんね。

一応、別解今日載せておきますね。
Friendly Fire│2007-07-26-Thu 20:10
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