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2017-01-24-Tue 12:00:54 │EDIT
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a010

2006-03-14-Tue 20:39:02 │EDIT


(1) log1020092009=2009log102009=2009log10(41・72
  =2009(log1041 + 2log107)=2009(1.613 + 2・0.8451)
  =2009・3.3032=6636.1288

  よって、6636≦log1020092009<6637、
  10
6636≦20092009<106637
   したがって、2009
2009 は十進法で6637桁の整数である。



(2) 二項定理より、
  n
={(n+1)-1}
  =C0(n+1)C1(n+1)n-1+・・・+Cn-1(-1)n-1(n+1)+C(-1)
  =(n+1){C0(n+1)n-1C1(n+1)n-2+・・・+Cn-1(-1)n-1}+(-1)

  
  よって求める余りは(-1)
を n+1 で割ったときの余りと一致する。

  ⅰ. nが偶数のとき
    (-1)
=1  割る数である n+1 は3以上より
    0≦1<n+1 を満たすので、余りは1。

  ⅱ. nが奇数のとき
    (-1)
=-1=(-1)(n+1)+n
    0≦n<n+1 を満たすので、余りはn。

  ⅰⅱより、求める余りは n (nが奇数のとき)
                  1  (nが偶数のとき)



(3) (2)においてn=2009 を代入すると、
2009
2009 を 2010 で割った余りは 2009 である。

よって、適当な整数kを用いて 20092009 =2010k + 2009 と表せるので、

(20092009/ 2010 = k +2009/2010 となる。

ここで、0≦2009/2010<1 を満たすので、求める小数部分は2009/2010 である。

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