a010

（1）　log₁₀2009²⁰⁰⁹＝2009log₁₀2009＝2009log₁₀（41・7²）
　　＝2009（log₁₀41 + 2log₁₀7）＝2009（1.613 + 2・0.8451）
　　＝2009・3.3032＝6636.1288

　　よって、6636≦log₁₀2009²⁰⁰⁹＜6637、
　　10⁶⁶³⁶≦2009²⁰⁰⁹＜10⁶⁶³⁷
　　　したがって、2009²⁰⁰⁹ は十進法で6637桁の整数である。



（2）　二項定理より、
　　ｎ^ｎ＝{（ｎ+1）－1}^ｎ
　　＝_ｎC₀（ｎ+1）^ｎ－_ｎC₁（ｎ+1）^ｎ－1+・・・+_ｎC_ｎ－1（－1）^ｎ－1（ｎ+1）+_ｎC_ｎ（－1）^ｎ
　　＝（ｎ+1）{_ｎC₀（ｎ+1）^ｎ－1－_ｎC₁（ｎ+1）^ｎ－2+・・・+_ｎC_ｎ－1（－1）^ｎ－1}+（－1）^ｎ
　　
　　よって求める余りは（－1）^ｎを ｎ+1 で割ったときの余りと一致する。

　　ⅰ.　ｎが偶数のとき
　　　　（－1）^ｎ＝1　　割る数である ｎ+1 は3以上より
　　　　0≦1＜ｎ+1 を満たすので、余りは1。

　　ⅱ.　ｎが奇数のとき
　　　　（－1）^ｎ＝－1＝（－1）（ｎ+1）+ｎ
　　　　0≦ｎ＜ｎ+1 を満たすので、余りはｎ。

　　ⅰⅱより、求める余りは　ｎ （ｎが奇数のとき）
　　　　　　　　　　　　　　　　 　1  （ｎが偶数のとき）



（3）　（2）においてｎ＝2009 を代入すると、
2009²⁰⁰⁹ を 2010 で割った余りは 2009 である。

よって、適当な整数kを用いて 2009²⁰⁰⁹ ＝2010k + 2009 と表せるので、
（2009²⁰⁰⁹）/ 2010 ＝ k +2009/2010 となる。

ここで、0≦2009/2010＜1 を満たすので、求める小数部分は2009/2010 である。