a009

台形ABCDの2つの対角線の交点をＰとし、∠BPC＝θ、
台形ＡＢＣＤの面積をS₁とする。
S₁＝（△BPCの面積）+（△APBの面積）+（△APDの面積）+（△CPDの面積）。
ここで、∠APDは∠BPCの対頂角なので、∠APD＝θ。

∴（△BPCの面積）＝（1/2）・BP・CP・sinθ
（△APBの面積）＝（1/2）・AP・BP・sin（180°－θ）＝（1/2）・AP・BP・sinθ
（△APDの面積）＝（1/2）・AP・DP・sinθ
（△CPDの面積）＝（1/2）・CP・DP・sin（180°－θ）＝（1/2）・CP・DP・sinθ

したがって、S₁＝（1/2）（BP・CP+AP・BP+AP・DP+CP・DP）sinθ
＝（1/2）{BP（AP+CP）+DP（ＡＰ+CP）}sinθ
＝（1/2）（BP+DP）（AP+CP）sinθ
＝（1/2）・BD・AC・sinθ。



△BDEの面積をS₂とすると、
S₂＝（1/2）・DB・DE・sin∠BDE。

ここでAC//DE、∠BDEと∠BPCは同位角なので
∠BDE＝∠BPC、すなわち∠BDE＝θ。

また、DE＝ACなので、
S₂＝（1/2）・DB・DE・sin∠BDE
＝（1/2）・BD・AC・sinθ。

∴　S₁＝S₂　・・・①

台形ABCDと△BDEの共通部分△BDEの面積を①の両辺から引くと、
S₁－（△BDEの面積）＝S₂－（△BDEの面積）
⇔（△ABDの面積）+（△BCFの面積）＝（△DEFの面積）



ここで、（△ABDの面積）＝200、（△BCFの面積）＝40なので
（△DEFの面積）＝200+40＝240。

したがって、△BCFの面積は△DEFの面積の（40/240）倍、
すなわち（1/6）倍である。


答え：1/6倍