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2017-04-27-Thu 16:04:21 │EDIT
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a009

2006-03-10-Fri 01:05:43 │EDIT


台形ABCDの2つの対角線の交点をPとし、∠BPC=θ、
台形ABCDの面積をS1とする。
S1=(△BPCの面積)+(△APBの面積)+(△APDの面積)+(△CPDの面積)。
ここで、∠APDは∠BPCの対頂角なので、∠APD=θ。

∴(△BPCの面積)=(1/2)・BP・CP・sinθ
(△APBの面積)=(1/2)・AP・BP・sin(180°-θ)=(1/2)・AP・BP・sinθ
(△APDの面積)=(1/2)・AP・DP・sinθ
(△CPDの面積)=(1/2)・CP・DP・sin(180°-θ)=(1/2)・CP・DP・sinθ

したがって、S1=(1/2)(BP・CP+AP・BP+AP・DP+CP・DP)sinθ
=(1/2){BP(AP+CP)+DP(AP+CP)}sinθ
=(1/2)(BP+DP)(AP+CP)sinθ
(1/2)・BD・AC・sinθ



△BDEの面積をS2とすると、
S2=(1/2)・DB・DE・sin∠BDE。

ここでAC//DE、∠BDEと∠BPCは同位角なので
∠BDE=∠BPC、すなわち∠BDE=θ。

また、DE=ACなので、
S2=(1/2)・DB・DE・sin∠BDE
(1/2)・BD・AC・sinθ

∴ S1=S2 ・・・①

台形ABCDと△BDEの共通部分△BDEの面積を①の両辺から引くと、
S1-(△BDEの面積)=S2-(△BDEの面積)
⇔(△ABDの面積)+(△BCFの面積)=(△DEFの面積)



ここで、(△ABDの面積)=200、(△BCFの面積)=40なので
(△DEFの面積)=200+40=240

したがって、△BCFの面積は△DEFの面積の(40/240)倍、
すなわち(1/6)倍である。


答え:1/6倍
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