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（1） log1020092009＝2009log102009＝2009log10（41・72）
＝2009（log1041 + 2log107）＝2009（1.613 + 2・0.8451）
＝2009・3.3032＝6636.1288
よって、6636≦log1020092009＜6637、
106636≦20092009＜106637
したがって、20092009 は十進法で6637桁の整数である。
（2） 二項定理より、
ｎｎ＝{（ｎ+1）－1}ｎ
＝ｎC0（ｎ+1）ｎ－ｎC1（ｎ+1）ｎ－1+・・・+ｎCｎ－1（－1）ｎ－1（ｎ+1）+ｎCｎ（－1）ｎ
＝（ｎ+1）{ｎC0（ｎ+1）ｎ－1－ｎC1（ｎ+1）ｎ－2+・・・+ｎCｎ－1（－1）ｎ－1}+（－1）ｎ
よって求める余りは（－1）ｎを ｎ+1 で割ったときの余りと一致する。
ⅰ. ｎが偶数のとき
（－1）ｎ＝1 割る数である ｎ+1 は3以上より
0≦1＜ｎ+1 を満たすので、余りは1。
ⅱ. ｎが奇数のとき
（－1）ｎ＝－1＝（－1）（ｎ+1）+ｎ
0≦ｎ＜ｎ+1 を満たすので、余りはｎ。
ⅰⅱより、求める余りは ｎ （ｎが奇数のとき）
1 （ｎが偶数のとき）
（3） （2）においてｎ＝2009 を代入すると、
20092009 を 2010 で割った余りは 2009 である。
よって、適当な整数kを用いて 20092009 ＝2010k + 2009 と表せるので、
（20092009）/ 2010 ＝ k +2009/2010 となる。
ここで、0≦2009/2010＜1 を満たすので、求める小数部分は2009/2010 である。
（1） 20092009 は十進法で何桁の整数か求めよ。
ただし、log107＝0.8451 log1041＝1.613 とする。 （10点）
（2） nn を n+1 で割ったときの余りを求めよ。
ただし、n は自然数とし、商は整数、余りは割る数より小さく0以上の整数とする。 （20点）
（3）
の小数部分を求めよ。 （20点）
